Numerische Methoden D-PHYS 2014ΒΆ

  • 18-21.02.2014: Organisatorisches; Motivation; Iterative Verfahren am Beispiel von algebraischen Gleichungen; lineare Konvergenz; Konvergenz der Ordnung p; Abbruchkriterien; Fehlerschaetzer fuer lineare Konvergenz; Fixpunktiterationen und deren Konvergenz; Bisektionsverfahren; Idee des Newton-Verfahrens
  • 25-28.02.2014: Newton-Verfahren; angepasstes Newton-Verfahren; Sekantenverfahren; vereinfachtes Newton-Verfahren; gedaempftes Newton-Verfahren; Broyden-Quasi-Newton-Verfahren; Sherman-Morrison-Woodbury formula; Konvergenzordnungen und Rechenzeiten; Orthogonale Tarnsformationen.
  • 04-07.03.2014: Matrix-Zerlegunegn: LU, QR, SVD; Kondition einer Matrix; Hauptkomponentenanalyse; numerischer Rank einer Matrix; Lineare Ausgleichsrechnung; Normalengleichungen; Kondition, Struktur und Tricks bei der Normalengleichungen;
  • 11-14.03.2014: Ausgleichsrechnung mit der QR-Zerlegung und mit der SVD; Nichtlineare Ausgleichsrechnung mittels Newton-, Gauss-Newton- und Levenberg-Marquardt-Verfahren; Eigenwerte und Nullstellen von Polynome; Idee der QR-Methode zur Berechnung von Eigenwerte; einfache Implementierung; Komplexitaet und Rechenzeiten bei Verwendung professionellen Codes (eig, eigvals, eigh, eigvalsh), die auf QR-Verfahren mit Shift basieren; Krylov-Verfahren: Idee
  • 18-21.03.2014: Krylov-Verfahren: Idee und Konvergenz, Arnoldi-Verfahren, Lanczos-Verfahren, Orthogonalitaetsverlust, professionelle Codes, Polynomiale Interpolation via polyfit/polyval, via Newton-Polynom, via Lagrange-Polynom; Lebesgue-Konstanten
  • 25-28.03.2014: Polynomiale Interpolation via baryzentrische Formel; Chebyshev-Polynome, -Knoten, -Abszissen; wichtige Eigenschaften der Chebyshev-Polynome; Chebyshev-Interpolationsformel; Clenshaw-Schema; Stabilitaet von Rekurenzen;
  • 1-4.04.2014: Ueberblick ueber die Fourier-Approximation; Fourier-Approximation; DFT; Verbindung zwischen die Fourier-Reihe, die Fourier-Approximation und die DFT; FFT und fftshift;
  • 8-15.04.2014: Trigonometrische Interpolation; Auswertung; Konvergenzarten; Verbindung zur Chebyshev-Interpolation und Algorithmen; Clenshaw-Curtis-Quadratur; Wichtige Quadraturformel (MPR, TR, SR); Ordnung einer Quadraturformel und symmetrische Quadraturformel; zusammengesetzte Quadraturformel;
  • 29.04-2.05.2014: zusammengesetzte Quadraturformel; adaptive Quadratur; Quadratur in mehrere Dimensionen: Tensorprodukt- und Duenngitter-Quadratur; Ueberblick ueber die Monte-Carlo Methode
  • 6-9.05.2014: Monte-Carlo Methode fuer die Quadratur; Methoden fuer die Reduktion der Varianz mit Beispiele; Beispiele von ODEs; wichtige Definitionen und Notationen; ODEs mit konstanten Koeffizienten; Hamiltonische Differentialgleichungen; Erstes Integral und Erhaltungssatz; einfache Ein-Schritt-Verfahren; strukturerhaltende Verfahren: impliziter Mittelpunktsregel
  • 13-16.05.2014: Stoermer-Verlet und wichtige Beispiele dazu; Runge-Kutta-Verfahren; ode45; Zeitschrittsteuerung mit Beispiele; Splitting Verfahren mit Beispiele;
  • 20-23.05.2014: Splitting fuer gestoerte Systeme; Partitionierte Runge-Kutta-Verfahren; Magnus-Integratoren; Steife Differentialgleichugen: erste Beispiele und Definitionen; A-Stabile und L-Stabile Verfahren; Radau-Verfahren; semi-implizite Runge-Kutta-Verfahren, Rosenbock-Wanner-Methoden und ode23s; exponentiele Integratoren
  • 27-30.05.2014: vorgeholt