Numerische Methoden D-PHYS 2013ΒΆ

  • 18-22.02.2013: Organisatorisches; Motivation und Ueberblick; Iterative Verfahren am Beispiel von algebraischen Gleichungen; lineare Konvergenz; Konvergenz der Ordnung p; Abbruchkriterien; Fehlerschaetzer fuer lineare Konvergenz; Fixpunktiterationen und deren lineare Konvergenz.

  • 25-28.02.2013: Fixpunktiterationen; Bisektionsverfahren; Newton-Verfahren; angepasstes Newton-Verfahren; Sekantenverfahren; vereinfachtes Newton-Verfahren; gedaempftes Newton-Verfahren; Broyden-Quasi-Newton-Verfahren; Sherman-Morrison-Woodbury formula; Konvergenzordnungen und Rechenzeiten.

  • 04-08.03.2013: Orthogonale Tarnsformationen; Kondition einer Matrix; Matrix-Zerlegunegn: LU, QR, SVD; Hauptkomponentenanalyse; numerischer Rank einer Matrix

  • 11-15.03.2013: Lineare Ausgleichsrechnung; Normalengleichungen; Kondition, Struktur und Tricks bei der Normalengleichungen; Ausgleichsrechnung mit der QR-Zerlegung und mit der SVD; Nichtlineare Ausgleichsrechnung mittels Newton-, Gauss-Newton- und Levenberg-Marquardt-Verfahren

  • 17-25.03.2013: Eigenwerte und Nullstellen von Polynome; Idee der QR-Methode zur Berechnung von Eigenwerte; einfache Implementierung; Komplexitaet und Rechenzeiten bei Verwendung professionellen Codes (eig, eigvals, eigh, eigvalsh), die auf QR-Verfahren mit Shift basieren; Rayleigh-Quotienten; direkte Potenzmethode; inverse Iteration mit Shift ; Rayleigh-Quotieneten-Iteration; vorkonditionierte inverse Iteration; Krylov-Verfahren: Idee und Konvergenz, Arnoldi-Verfahren, Lanczos-Verfahren, Orthogonalitaetsverlust, professionelle Codes

  • 8-12.04.2013: Polynomiale Interpolation via polyfit/polyval, via Newton-Polynom, via Lagrange-Polynom und via baryzentrische Formel; Lebesgue-Konstanten; Chebyshev-Polynome, -Knoten, -Abszissen; wichtige Eigenschaften der Chebyshev-Polynome; Chebyshev-Interpolationsformel

  • 15-18.04.2013: Clenshaw-Schema; Stabilitaet von Rekurenzen; Ueberblick ueber die Fourier-Approximation; Fourier-Approximation; DFT

  • 23-26.04.2013: Verbindung zwischen die Fourier-Reihe, die Fourier-Approximation und die DFT; FFT und fftshift; Trigonometrische Interpolation; Auswertung; Konvergenzarten; Verbindung zur Chebyshev-Interpolation und Algorithmen

  • 30.04-3.05.2013: Wichtige Quadraturformel (MPR, TR, SR, Gauss, CC); Ordnung einer Quadraturformel und symmetrische Quadraturformel; zusammengesetzte Quadraturformel; adaptive Quadratur; Quadratur in mehrere Dimensionen: Tensorprodukt- und Duenngitter-Quadratur; Ueberblick ueber die Monte-Carlo Methode

  • 07-10.05.2013: Monte-Carlo Methode fuer die Quadratur; Methoden fuer die Reduktion der Varianz mit Beispiele; Einfuehrung in ODEs

  • 14-17.05.2013: Beispiele von ODEs; wichtige Definitionen und Notationen; Hamiltonische Differentialgleichungen; Erstes Integral und Erhaltungssatz; einfache Ein-Schritt-Verfahren; strukturerhaltende Verfahren: impliziter Mittelpunktsregel, Stoermer-Verlet und wichtige Beispiele dazu; Splitting Verfahren mit Beispiele;

  • 21-24.05.2013: Runge-Kutta-Verfahren; ode45; Zeitschrittsteuerung mit Beispiele; Steife Differentialgleichugen: erste Beispiele und Definitionen

  • 28-31.05.2013: Beispiele von Klassen von steifen Differentialgleichungen; A-Stabile und L-Stabile Verfahren; Radau-Verfahren; semi-implizite Runge-Kutta-Verfahren, Rosenbock-Wanner-Methoden und ode23s; exponentiele Integratoren